小学奥数等差数列三个公式+三道例题+附加题

应某家长要求，再讲一次等差数列

公式1：求和公式：等差数列求和=（首项+末项）×项数÷2，即：Sn=(a1+an)×n÷2；

公式2：通项公式：第n项=首项+（n-1）×公差，即：an=a1+(n-1)×d；

公式3：项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1，即n=(an-a1)÷d+1。

上述三个公式必须掌握

此外，还有一个中项定理，也最好掌握：

中项定理：对于作意一个项数为奇数的等差数列来说，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。

例1：建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？

解：如果我们把每层砖的块数依次记下来，2，6，10，14，… 容易知道，这是一个等差数列.

方法1：

a1=2， d=4， 利用公式求出an=2106，

则：n=（an-a1）÷d+1=527

这堆砖共有则中间一项为 a264=a1+（264-1）×4=1054.

方法2：（a1+an）×n÷2=（2+2106）×527÷2=555458（块）.

则中间一项为（a1+an）÷2=1054

a1=2， d=4， an=2106，

这堆砖共有 1054×527=555458（块）.

此题利用中项定理和等差数列公式均可解！

例2：求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差.

解：根据题意可列出算式：

（2+4+6+8+…+2000）-（1+3+5+…+1999）

解法1：可以看出，2，4，6，…，2000是一个公差为2的等差数列，1，3，5，…，1999也是一个公差为2的等差数列，且项数均为1000，所以：

原式=（2+2000)×1000÷2-（1+1999）×1000÷2

=1000.

解法2：注意到这两个等差数列的项数相等，公差相等，且对应项差1，所以1000项就差了1000个1，即

原式=1000×1=1000.

例3：100个连续自然数（按从小到大的顺序排列）的和是8450，取出其中第1个，第3个…第99个，再把剩下的50个数相加，得多少？

解：

方法1：要求和，我们可以先把这50个数算出来.

100个连续自然数构成等差数列，且和为8450，则：

由题可知：（ 首项+末项）×100÷2=8450，求出：（ 首项+末项）=169。

又因为末项比首项大99，所以，末项=首项+99，根据 （首项+末项）=169得到：

首项+末项+99=169，解出：首项=35.

因此，剩下的50个数为：36，38，40，42，44，46…134.这些数构成等差数列，和为（36+134）×50÷2=4250.

方法2：我们考虑这100个自然数分成的两个数列，这两个数列有相同的公差，相同的项数，且剩下的数组成的数列比取走的数组成的数列的相应项总大1，因此，剩下的数的总和比取走的数的总和大50，又因为它们相加的和为8450.所以：

剩下的数总和+取走的数的总和=8450；

剩下的数总和-取走的数的总和=50。

求出：剩下的数的总和为（8450+50）÷2=4250.

（利用两数和已知，两数差已知，求两数)

附加题：x+y+z=1993有多少组正整数解.

朋友们，此题留给大家解一下，答案见最下面。

答案：l+2+3+…+1991=1983036